HISTORIA   

                                           

                                   Johann Carl Friedrich Gauss  

                                                                                                                      

       

Gauss provenía de una familia muy modesta. Su padre fue jardinero y pintor de brocha gorda. Las dotes matemáticas del joven Gauss se manifestaron muy pronto.

Se cuenta de él que un día, a la edad de nueve años, cuando llegó a la clase de aritmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus compañeros que sumasen todos los números del 1 al 100. Gauss se paró a pensar, y en lugar de sumar todos, uno por uno, resolvió el problema en pocos segundos de la manera siguiente: 

      1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050

es decir, descubrió el principio de la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética. A consecuencia de estos éxitos sus maestros se interesaron por él. Gauss estudió matemáticas y llegó a ser catedrático de matemáticas de Kazán, catedrático de astronomía y director del Observatorio Astronómico de Gotinga.  

INTRODUCCIÓN 

Una sucesión es una colección de números ordenados, es decir, hay un primer número, un segundo número, un tercer número, etc... y hay también un procedimiento para encontrar los números de la colección.

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene a partir del anterior sumándole un número fijo que llamamos diferencia.

EJEMPLO:

                                  UNA SUCESIÓN DE LOS MÚLTIPLOS DE 6:

 En este caso la sucesión a comenzado por el número 32 al cual le sumaremos el número 6 dándonos como resultado 38 y a este número le volveremos a sumar 6 para así obtener 44 y así seguiremos con estas sucesiónes.

 APLICACIÓN

Los elementos o términos de una suceción suelen idicarse por una misma letra afectada con subíndices (a₁, a₂ , a₃ , ...;)que indican el número de orden de cada término.

Para resolver un ejercicio tomamos en cuenta la fórmula general:

 

EJEMPLO:

HALLAR EL 9° TÉRMINO DE 7,10,13, ...

Tomamos en cuenta la fórmula de arriba para la solución del ejercicio donde nos pide calcular el 9° término:

a) Ponemos la fórmula general para las progresiones aritméticas.

a_{n =} a_{1 + (n-1)·d}

b)  Remplazamos los términos en la fórmula, donde a_{1 sería en este caso el primer término que es 7} 

                                                          a_{n = 7 + (n-1)·d}

c) La diferencia se obtiene de restar el segundo término del primer término: en este caso restaremos 10 de 7, ya que el  10 es el primer término y el 7 es el segundo término.

    DIFERENCIA: 10-7= 3   

a_{n = 7 + (n-1).3}

 d) En este paso lo que haremos es distribuir la diferencia para todo el  paréntesis. 

a_{n = 7 + (n-1).3}

a_{n = 7 + 3n-3} 

e) Restamos 7 de 3 que eso es igual a 4 y nos quedará algo asi:

a_{n = 3n + 4}

f) Como en el ejercicio nos pide calcular el 9° término en a_n   en   (n) remplazamos por el número 9 ya que nos pide calcular el 9° término.

a_{n = 3.9 + 4}

g) Multiplicamos 3.9 y al resultado le sumamos 4 que nos dará un total de 31

a_{n = 3.9 + 4}

a_{n = 27 + 4}

                                 RESPUESTA:           a_{n = 31}   

h) Esto quiere decir que 9° término de esta progresión aritmética es 31

SUMA DE (n) TÉRMINOS

 En una progresión aritmética finita de (n) términos, la suma de los términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de ellos.

a₁+a_n = a₂+a_n-1= a₃+a_n-2= ...

Aplicando esta propiedad se obtiene que la suma,   

          S_n= a₁+a₂+.......+a_n, de los n primeros términos de una progresión aritmética, tomando en cuenta la siguiente fórmula 

A continuación un breve ejemplo de la suma de los (n) términos de una progresión aritmética:

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 8, 3, -2, -7, -12, ...

 

VIDEO